材料力學重點及公式

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材料力學重點及公式簡介
1、材料力學的任務: 強度、剛度和穩定性; 應力 單位面積上的內力。 平均應力        &n……
材料力學重點及公式正文

1、材料力學的任務:

強度、剛度和穩定性;
應力 單位面積上的內力。
平均應力                       1.1
全應力         1.2
正應力垂直於截面的應力分量,用符號表示。
切應力相切於截面的應力分量,用符號表示。
應力的量綱:
  
線應變 單位長度上的變形量,無量綱,其物理意義是構件上一點沿某一方向變形量的大小。
外力偶矩
傳動軸所受的外力偶矩通常不是直接給出,而是根據軸的轉速n與傳遞的功率P來計算。
當功率P單位為千瓦(kW),轉速為nr/min)時,外力偶矩為
當功率P單位為馬力(PS),轉速為nr/min)時,外力偶矩為
拉(壓)桿橫截面上的正應力
拉壓桿件橫截面上只有正應力,且為平均分佈,其計算公式為         (3-1)
式中為該橫截面的軸力,A為橫截面面積。
正負號規定 拉應力為正,壓應力為負
公式(3-1)的適用條件:
(1)桿端外力的合力作用線與桿軸線重合,即只適於軸向拉(壓)桿件;
(2)適用於離桿件受力區域稍遠處的橫截面;
(3)桿件上有孔洞或凹槽時,該處將產生局部應力集中現象,橫截面上應力分佈很不均勻;
(4)截面連續變化的直桿,桿件兩側棱邊的夾角
拉壓桿件任意斜截面(a圖)上的應力為平均分佈,其計算公式為
全應力    (3-2)
正應力 (3-3)
切應力 (3-4)
式中為橫截面上的應力。
正負號規定:
    由橫截面外法線轉至斜截面的外法線,逆時針轉向為正,反之為負。
  拉應力為正,壓應力為負。
  對脫離體內一點產生順時針力矩的為正,反之為負。
兩點結論:
(1)當時,即橫截面上,達到最大值,即。當=時,即縱截面上,==0。
(2)當時,即與桿軸成的斜截面上,達到最大值,即
12 拉(壓)桿的應變和胡克定律
(1)變形及應變
桿件受到軸向拉力時,軸向伸長,橫向縮短;受到軸向壓力時,軸向縮短,橫向伸長。如圖3-2。
圖3-2
軸向變形          軸向線應變        橫向變形      
橫向線應變        正負號規定   伸長為正,縮短為負。
(2)胡克定律
當應力不超過材料的比例極限時,應力與應變成正比。即       (3-5)
或用軸力及桿件的變形量表示為         (3-6)
式中EA稱為桿件的抗拉(壓)剛度,是表徵桿件抵抗拉壓彈性變形能力的量。
公式(3-6)的適用條件:
(a)材料在線彈性範圍內工作,即
(b)在計算時,l長度內其N、E、A均應為常量。如桿件上各段不同,則應分段計算,求其代數和得總變形。即
    (3-7)
(3)泊松比 當應力不超過材料的比例極限時,橫嚮應變與軸嚮應變之比的絕對值。即        (3-8)
表1-1 低碳鋼拉伸過程的四個階段

階     段
圖1-5中線段
特徵點
說               明
彈性階段
oab
比例極限
彈性極限
為應力與應變成正比的最高應力
為不產生殘餘變形的最高應力
屈服階段
bc
屈服極限
為應力變化不大而變形顯著增加時的最低應力
強化階段
ce
抗拉強度
為材料在斷裂前所能承受的最大名義應力
局部形變階段
ef
 
產生頸縮現象到試件斷裂

 

表1-2  主要性能指標

性能
性能指標
說明
彈性性能
彈性模量E
強度性能
屈服極限
材料出現顯著的塑性變形
抗拉強度
材料的最大承載能力
塑性性能
延伸率
材料拉斷時的塑性變形程度
截面收縮率
材料的塑性變形程度

強度計算
許用應力   材料正常工作容許採用的最高應力,由極限應力除以安全係數求得。
塑性材料   []= ;       脆性材料    []=
其中稱為安全係數,且大於1。
強度條件:構件工作時的最大工作應力不得超過材料的許用應力。
對軸向拉伸(壓縮)桿件
          (3-9)
按式(1-4)可進行強度校核、截面設計、確定許克載荷等三類強度計算。
2.1  切應力互等定理
受力構件內任意一點兩個相互垂直面上,切應力總是成對產生,它們的大小相等,方向同時垂直指向或者背離兩截面交線,且與截面上存在正應力與否無關。
2.2純剪切
單元體各側面上只有切應力而無正應力的受力狀態,稱為純剪切應力狀態。
2.3切應變
切應力作用下,單元體兩相互垂直邊的直角改變數稱為切應變或切應變,用表示。
2.4 剪切胡克定律
在材料的比例極限範圍內,切應力與切應變成正比,即
                                 (3-10)       
式中G為材料的切變模量,為材料的又一彈性常數(另兩個彈性常數為彈性模量E及泊松比),其數值由實驗決定。
對各向同性材料,E、 、G有下列關係        (3-11)
2.5.2切應力計算公式
橫截面上某一點切應力大小為              (3-12)
式中為該截面對圓心的極慣性矩,為欲求的點至圓心的距離。
圓截面周邊上的切應力為           (3-13)
式中稱為扭轉截面係數,R為圓截面半徑。
2.5.3切應力公式討論
(1)       切應力公式(3-12)和式(3-13)適用於材料在線彈性範圍內、小變形時的等圓截面直桿;對小錐度圓截面直桿以及階梯形圓軸亦可近似應用,其誤差在工程允許範圍內。
(2)       極慣性矩和扭轉截面係數是截面幾何特徵量,計算公式見表3-3。在面積不變情況下,材料離散程度高,其值愈大;反映出軸抵抗扭轉破壞和變形的能力愈強。因此,設計空心軸比實心軸更為合理。

 

   表3-3
實心圓
(外徑為d)
空心圓
(外徑為D,
內徑為d)
2.5.4強度條件
圓軸扭轉時,全軸中最大切應力不得超過材料允許極限值,否則將發生破壞。因此,強度條件為           (3-14)  對等圓截面直桿                (3-15)式中為材料的許用切應力。
3.1.1中性層的曲率與彎矩的關係              (3-16)
式中,是變形後梁軸線的曲率半徑;E是材料的彈性模量;是橫截面對中性軸Z軸的慣性矩。
3.1.2橫截面上各點彎曲正應力計算公式             (3-17)
式中,M是橫截面上的彎矩;的意義同上;y是欲求正應力的點到中性軸的距離
最大正應力出現在距中性軸最遠點處               (3-18)
式中,稱為抗彎截面係數。對於的矩形截面,;對於直徑為D的圓形截面,;對於內外徑之比為的環形截面,
若中性軸是橫截面的對稱軸,則最大拉應力與最大壓應力數值相等,若不是對稱軸,則最大拉應力與最大壓應力數值不相等。
3.2梁的正應力強度條件
梁的最大工作應力不得超過材料的容許應力,其表達式為                   (3-19)
對於由拉、壓強度不等的材料製成的上下不對稱截面梁(如T字形截面、上下不等邊的工字形截面等),其強度條件應表達為
          (3-20a)
          (3-20b)
式中,分別是材料的容許拉應力和容許壓應力;分別是最大拉應力點和最大壓應力點距中性軸的距離。
3.3梁的切應力                       (3-21)
式中,Q是橫截面上的剪力;是距中性軸為y的橫線與外邊界所圍面積對中性軸的靜矩;是整個橫截面對中性軸的慣性矩;b是距中性軸為y處的橫截面寬度。
3.3.1矩形截面梁
切應力方向與剪力平行,大小沿截面寬度不變,沿高度呈拋物線分佈。
切應力計算公式                 (3-22)
最大切應力發生在中性軸各點處,
3.3.2工字形截面梁
切應力主要發生在腹板部分,其合力佔總剪力的95~97%,因此截面上的剪力主要由腹板部分來承擔。
切應力沿腹板高度的分佈亦為二次曲線。計算公式為      (3-23)
近似計算腹板上的最大切應力:  d為腹板寬度 h1為上下兩翼緣內側距
3.3.3圓形截面梁
橫截面上同一高度各點的切應力匯交於一點,其豎直分量沿截面寬度相等,沿高度呈拋物線變化。
最大切應力發生在中性軸上,其大小為          (3-25)

 

圓環形截面上的切應力分佈與圓截面類似。
3.4切應力強度條件
梁的最大工作切應力不得超過材料的許用切應力,即              (3-26)
式中,是樑上的最大切應力值;是中性軸一側面積對中性軸的靜矩;是橫截面對中性軸的慣性矩;b是處截面的寬度。對於等寬度截面,發生在中性軸上,對於寬度變化的截面,不一定發生在中性軸上。
4.2剪切的實用計算
名義切應力:假設切應力沿剪切面是均勻分佈的 ,則名義切應力為               (3-27)
剪切強度條件:剪切面上的工作切應力不得超過材料的 許用切應力,即          (3-28)
5.2擠壓的實用計算
名義擠壓應力 假設擠壓應力在名義擠壓面上是均勻分佈的,則              (3-29)
式中,表示有效擠壓面積,即擠壓面面積在垂直於擠壓力作用線平面上的投影。當擠壓面為平面時為接觸面面積,當擠壓面為曲面時為設計承壓接觸面面積在擠壓力垂直面上的 投影面積。
擠壓強度條件擠壓面上的工作擠壓應力不得超過材料的許用擠壓應力               (3-30)
1變形計算
圓軸扭轉時,任意兩個橫截面繞軸線相對轉動而產生相對扭轉角。相距為l的兩個橫截面的相對扭轉角為
     (rad)       (4.4)
若等截面圓軸兩截面之間的扭矩為常數,則上式化為
     (rad)          (4.5)
                                               圖4.2                 
式中稱為圓軸的抗扭剛度。顯然,的正負號與扭矩正負號相同。
公式(4.4)的適用條件:
(1)       材料在線彈性範圍內的等截面圓軸,即
(2)       在長度l內,T、G均為常量。當以上參數沿軸線分段變化時,則應分段計算扭轉角,然後求代數和得總扭轉角。即         (rad)         (4.6)
T沿軸線連續變化時,用式(4.4)計算
2剛度條件
扭轉的剛度條件 圓軸最大的單位長度扭轉角不得超過許可的單位長度扭轉角,即
      (rad/m)       (4.7)
                   4.8
2,撓曲線的近似微分方程及其積分
    在分析純彎曲梁的正應力時,得到彎矩與曲率的關係
對於跨度遠大於截面高度的梁,略去剪力對彎曲變形的影響,由上式可得
利用平面曲線的曲率公式,並忽略高階微量,得撓曲線的近似微分方程,即          4.9
將上式積分一次得轉角方程為           4.10

 

再積分得撓曲線方程          4.11
式中,C,D為積分常數,它們可由梁的邊界條件確定。當梁分為若干段積分時,積分常數的確定除需利用邊界條件外,還需要利用連續條件。
3,梁的剛度條件
    限制梁的最大撓度與最大轉角不超過規定的許可數值,就得到梁的剛度條件,
                          4.12
3,軸向拉伸或壓縮桿件的應變能
在線彈性範圍內,由功能原理得    
當桿件的橫截面面積A、軸力FN為常量時,由胡克定律,可得        4.14
桿單位體積內的應變能稱為應變能密度,用表示。線彈性範圍內,得        4.15
    4,圓截面直桿扭轉應變能
在線彈性範圍內,由功能原
代入上式得            4.16             4.5
根據微體內的應變能在數值上等於微體上的內力功,得應變能的密度             4.17
    5,梁的彎曲應變能
在線彈性範圍內,純彎曲時,由功能原理得
 
代入上式得              4.18 
                                                         4.6
橫力彎曲時,梁橫截面上的彎矩沿軸線變化,此時,對於微段梁應用式(4.18),積分得全梁的彎曲應變能,即        4.19
2.截面幾何性質的定義式列表於下:

靜 矩
慣性矩
慣性半徑
慣性積
極慣性矩
 

3.慣性矩的平行移軸公式
靜矩:平面圖形面積對某坐標軸的一次矩,如圖-1所示
定義式:                      -1
量綱為長度的三次方。
由於均質薄板的重心與平面圖形的形心有相同的坐標。則
由此可得薄板重心的坐標  為  
同理有           
所以形心坐標                         (Ⅰ-2)

 

由式(-2)得知,若某坐標軸通過形心軸,則圖形對該軸的靜矩等於零,即   ,則  ;反之,若圖形對某一軸的靜矩等於零,則該軸必然通過圖形的形心。靜矩與所選坐標軸有關,其值可能為正,負或零。
如一個平面圖形是由幾個簡單平面圖形組成,稱為組合平面圖形。設第 I 塊分圖形的面積為  ,形心坐標為  ,則其靜矩和形心坐標分別為                    (Ⅰ-3)
          -4
§Ⅰ-2 慣性矩和慣性半徑
慣性矩:平面圖形對某坐標軸的二次矩,如圖-4所示。
 
   -5
量綱為長度的四次方,恆為正。相應定義
       -6
為圖形對  軸和對  軸的慣性半徑。
組合圖形的慣性矩。設  為分圖形的慣性矩,則總圖形對同一軸慣性矩為      -7若以表示微面積 到坐標原點的距離,則定義圖形對坐標原點的極慣性矩
                          (Ⅰ-8)因為  
所以極慣性矩與(軸)慣性矩有關係                     (Ⅰ-9)
式(-9)表明,圖形對任意兩個互相垂直軸的(軸)慣性矩之和,等於它對該兩軸交點的極慣性矩。
下式                           (Ⅰ-10)
定義為圖形對一對正交軸   軸的慣性積。量綱是長度的四次方。  可能為正,為負或為零。若 y z 軸中有一根為對稱軸則其慣性積為零。
§Ⅰ-3平行移軸公式
由於同一平面圖形對於相互平行的兩對直角坐標軸的慣性矩慣性積並不相同,如果其中一對軸是圖形的形心軸  時,如圖-7所示,可得到如下平行移軸公式
                      -13
簡單證明之:
其中  為圖形對形心軸  的靜矩,其值應等於零,則得
同理可證(I-13)中的其它兩式。
結論:同一平面內對所有相互平行的坐標軸的慣性矩,對形心軸的最小。在使用慣性積移軸公式時應注意 a ,b 的正負號。把斜截面上的總應力分解成與斜截面垂直的正應力和相切的切應力(圖13.1c,則其與主應力的關係為



13.1
       13.2
在以為橫坐標、為縱坐標的坐標系中,由上式所確定的任意斜截面上的正應力和切應力為由三個主應力所確定的三個圓所圍成區域(圖13.2中陰影)中的一點。由圖13.2顯見

 

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