轉子-軸承系統固有頻率對設計參數的靈敏度

電機的振動和雜訊是考核電機質量的綜合指標之一，它與電機的核心部件即轉子-軸承系統的設計參數、製造工藝和零部件的加工質量有密切關係．由於電機生產製造過程中各種不確定因素的影響，成品電機的振動和雜訊往往與預料值相差較遠．碰到此類問題時，技術人員往往憑藉經驗，用試湊的方法去處理，帶有很大的盲目性，並未從根本上找出解決問題的有效途徑．因此，尋求有效的系統固有頻率對設計參數靈敏度的計算方法是十分迫切的．對於這一問題許多人進行了探討^［1～5］,Lund也提出了臨界轉速對設計參數的靈敏度概念^［6］．但上述文獻均把軸承油膜簡化成各向同性的支承彈簧，所得系統的阻尼矩陣、剛度矩陣均為對稱的，這些方法都有一定的局限性．文獻［7］提出將一個二次特徵值問題轉化為一個線性特徵值問題求解轉子-軸承系統靈敏度，但該方法工作量大．
本文在以上文獻的基礎上，針對轉子-軸承系統的特點，推導了轉子-軸承系統的固有頻率對設計參數的靈敏度公式．利用該公式可對系統的動特性作出預估，從而為工程設計及參數改變提供了理論依據．

1　系統的動特性分析

轉子-軸承系統的轉速高，偏置的集中質量圓盤會產生陀螺效應，且軸承油膜呈各向異性,因此，系統的阻尼矩陣C，剛度矩陣K均是非對稱的．其系統的運動方程為

（1）

系統的特徵方程：

（λ²M＋λC＋K）｛φ｝_r＝｛0｝
（2）

（3）

由於阻尼矩陣C和剛度矩陣K一般不對稱，系統的特徵值問題是一個復模態二次廣義特徵問題，且通常左、右特徵向量不相等，因此，本文採用廣義逆迭代法^［8］求解，該方法將非對稱的二次特徵值問題簡化為標準特徵值問題，不需要把N階的二次特徵值問題變換為2N階的線性特徵值問題．這種方法不僅數值穩定，而且節省機時．

2　固有頻率對設計參數的靈敏度

模態靈敏度的求解方法主要有兩種：振動法和導數法．本文採用導數法，即用固有頻率對設計參數的一階導數作為靈敏度．
對於某一特徵值λ_i，記

（4）

將式(4)對某設計參數S_m求導：

　（5）

將式(2)對S_m求導：

用左乘上式，並將式(5)代入整理得：

（6）

取即可求出固有頻率對設計參數的靈敏度．其中根據具體的設計參數而定．
特徵值按Taylor級數展開：

若系統修改量較小，一般僅求出其線性部分．否則，應求其高階項．這樣可求出某一設計參數S_m變化后的固有頻率，不必再求變化后的動力系統，便可知道系統固有頻率的變化趨勢．

　轉子-軸承系統力學模型

3　數值算例

採用本文提出的方法，對某一實際轉子-軸承系統進行分析，其模型如圖1所示．圓盤參數及轉子各軸段參數見表1．支承採用圓柱軸承，軸瓦直徑為100．5　mm，軸瓦長度60　mm，預負荷係數為0．802 5，轉速12　490　r/min．

表1　軸段參數

自然軸段 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 直徑D/mm 75 96 100 100 124 142 124 100 100 96 75 長度L/mm 90 120 38 58 30 145 30 58 38 126 95 集中質量m/kg 48.80 　 45.20 直徑轉動慣量J_d/（kg·m²） 0.183 0.176 極轉動慣量J_p/（kg·m²） 0.331 0.320
該系統的前4階固有頻率(特徵值虛部)分別為509．19　Hz，833．50　Hz，1　329．1　Hz，1　778．8　Hz．

表2　軸承物理參數的靈敏度

階數間隙比ψ 長徑比L/D 預負荷m_b 1 －11 3918.67 368.46 2 024.95 2 －165 510.57 347.75 2 463.85 3 －361 292.68 1 336.20 7 454.29 4 －40 326.82 235.65 993.77
求得固有頻率和特徵向量后，便可利用公式(6)，求出固有頻率對設計參數的靈敏度．結構的修改參數可以是轉子的幾何尺寸、軸承參數等．在轉子-軸承系統中，軸承是一個關鍵部件，其油膜動特性係數直接影響到系統的動力學行為．算例給出了系統前4階固有頻率對軸承物理參數間隙比ψ，長徑比L/D，預負荷係數m_b的靈敏度和轉子各直徑D_i的靈敏度，分別見表2和表3．

表3　前6個自然軸段的直徑靈敏度

階數第1段第2段第3段第4段第5段第6段 1 －472.73 －199.13 75.06 124.29 1.01 －4.17 2 －509.57 －299.05 164.32 341.29 －76.26 －367.04 3 －1 662.29 －77.13 969.08 1 381.61 89.11 10.55 4 －22 182.25 9 313.53 6 901.06 12 569.66 2 229.73 2 746.01
由以上計算可見：
1）軸承的物理參數對系統動特性的影響比轉子幾何尺寸的影響大．
2）軸承的3個物理參數中，間隙比對各階固有頻率的影響最大,隨著間隙比的增加，各階固有頻率降低；隨著預負荷係數增加，各階固有頻率增大；長徑比的改變對固有頻率的影響較前兩個參數小，隨著長徑比的增加，固有頻率也隨之增大．
3）各軸徑對固有頻率的影響不盡相同，對高階固有頻率的影響較大．
此結果與工程實際中常選用高精度的軸承或用提高軸承的裝配工藝來減小電機振動和雜訊的實際相符．這證明了該方法的正確性和可靠性．

4　結論

1) 本文推導的靈敏度公式，較文獻［7］提出的靈敏度公式形式簡單，便於在計算機上實施，且計算量小．
2）採用本文的靈敏度分析方法，對轉子-軸承系統的動特性作出預估，相對於採用結構的動特性有限元重分析或實驗分析來說，該方法周期短，見效快，且結果具有相當的預測精度．
3) 本文提出的方法可以有效地應用於轉子-軸承系統中設計參數的靈敏度分析，並可直接應用於轉子-軸承系統動力學修改再設計．

參考文獻
［1］　Fox R L, Kapoor M P. Rates of change of eigenvalues and eigenvectors［J］. AIAA Journal, 1968,6(12):2 426-2 429．
［2］　Rudisill C S. Derivatives of eigenvalues and eigenvectors of general matrix ［J］　AIAA Journal, 1974, 12(12):721-722．
［3］　Zimoch Z. Sensitivity analysis of vibrating systems ［J］. Journal of Sound and Vibration, 1987, 115(3):447-458．
［4］　Dought S. Eigenvalue derivation of damped torsional vibrations ［J］. ASME Journal of Mechanical Design, 1982，(104):463-465．
［5］　Adelman Howard M, Raphal Haftka. Sensitivity analysis of discrete structural systems［J］. AIAA Journal, 1986,24(5):823-832．
［6］　Lund J W. Sensitivity of the critical speeds of a rotor to changes in design ［J］　ASME Journal of Mechanical Design, 1980，(102):115-121．
［7］　Rajan M, Nelson H D, Chen W J. Parameter sensitivity in the dynamics of rotor-bearing systems ［J］. ASME Journal of Vibration: A Caustics Stress and Reliability in Design, 1986，