串聯彈簧振子計算

   時間:2017-11-14 09:07:03
串聯彈簧振子計算簡介
如果不給出N的具體數值這題比較困難,並且題目描述中還缺幾個條件。下面我只給出一個大致的步驟。首先,要給出碰撞的條件,包括碰撞后兩球的質量改變,和動能變化(我猜想lz可能是默認完全彈性碰撞)。知道碰撞后的第一個小球的質量后,將N個連在一起的小…
串聯彈簧振子計算正文

如果不給出N的具體數值這題比較困難,並且題目描述中還缺幾個條件。下面我只給出一個大致的步驟。
首先,要給出碰撞的條件,包括碰撞后兩球的質量改變,和動能變化(我猜想lz可能是默認完全彈性碰撞)。知道碰撞后的第一個小球的質量后,將N個連在一起的小球作為一個系統。因為只考慮一維運動,所以有N個自由度,去掉一個整體平動的解,聯立久期方程可以得到(N-1)個簡正模式。將碰撞后的各個小球初速度(第一個球的速度由碰撞條件給出,其他的球初速為零),分解為(N-1)個簡正模式和整體平動的疊加,就可以給出運動方程了。
第一題,由於給出了運動方程,直接求相鄰兩個小球的位移差,取極小值,要求大於零。然後即可給出條件。
第二題,我相信這題沒答案,很容易知道只要碰撞后小球1有速度,那麼N個球的質心都有一個向右的速度。這在前面的解題過程中等價於說,初速度分解后,整體平動這個模式的分量不為零。以N=2為例,碰撞后兩球的質心向右以v/2(假設是完全彈性碰撞)運動,而在質心繫中,兩球各自作對稱的簡諧振動。顯然,只要時間足夠長,小球1和小球2能運動的非常遠的地方,兩者的位移都沒有極大值。
第三題,同上,沒有解。
第四題,這題還缺一些條件,首先,根據第一題的討論,運動過程中兩球有可能碰撞,這時需要給出碰撞的具體條件,碰撞前後的質量變化和動能變化。在碰撞后,根據各球的速度需要再做一次在簡正模式上的分解,然後得到運動方程。當然如果接著還有碰撞還要繼續重複這個步驟,得到總的運動方程。
在得到運動方程后,只要是小球1的位移為零,求出相應的tn(可能多次返回原點),然後得到各個小球的位置,求出勢能即可。
插一句話,小球1並不一定能回到原點。例如,彈性係數K足夠大,那麼N個小球相當於被一些剛性桿連在一起,這時候,N個小球一起向右平動,小球1不會回到原點。

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