1 進給滾珠絲杠副的軸向剛度
進給滾珠絲杠副軸向剛度表示滾珠絲杠副及其支承部件抵抗其軸向彈性變形的能力。用彈簧常數K1表示,按下式計算
K1=F/δ1
式中 K1——進給滾珠絲杠副傳動系統軸向剛度,
N/μm
F——施加於進給絲杠的軸向負載,N
δ1——進給滾珠絲杠副軸向彈性位移,μm
KS——絲杠軸向剛度,N/μm
KN——螺母組件軸向剛度,N/μm
KB——支承軸承軸向剛度,N/μm
KH——螺母支架及軸承支架軸向剛度,N/μm
1.1 絲杠軸向剛度計算
絲杠的軸向剛度因安裝方式不同而不同。
1.1.1 雙推—支承安裝絲杠的軸向剛度
採用雙推—支承方式安裝絲杠時,絲杠的軸向剛度隨載荷作用點至雙推支承端的距離變化而改變。其最小剛度KS按下式計算
式中 A——絲杠的斷面積,mm2
(d為螺紋小徑,mm)
E——絲杠材料的彈性模量,對於鋼材
E=2.07×105MPa
La——載荷作用點距雙推支承的最大距離,mm
附圖a為日本精機生產的標準滾珠絲杠雙推—支承安裝時的軸向剛度圖。
滾珠絲杠軸向剛度圖
1.1.2 雙推—雙推安裝絲杠的軸向剛度
採用雙推—雙推安裝絲杠時,其軸向剛度計算公式為
式中 L——兩雙推支承端距離,mm
由上式可以看出,絲杠採用雙推—雙推方式安裝時,剛度也是變化的,且在處軸向剛度值最小,其最小值。
附圖b為日本精機生產的標準滾珠絲杠雙推—雙推安裝時的軸向剛度圖。
1.2 螺母的剛度
為與多數生產廠家產品樣本名稱統一,本文仍沿用螺母剛度這一名稱。螺母剛度實為螺母組件的剛度,包括滾珠和絲杠、螺母螺紋滾道的軸向剛度。
根據赫茲接觸理論,滾珠和螺紋滾道間的軸向彈性變形量δN按下式計算
式中 α——滾珠的接觸角,(°)
F——軸向載荷,N
d0——滾珠直徑,mm
Z——每圈有效載荷滾珠數
Z=πDm/(d0cosφ)
Dm——螺母公稱直徑,mm
φ——螺旋升角,(°)
1.2.1 單螺母軸向剛度
進給滾珠絲杠副為單螺母時,如果軸向工作載荷等於30%動額定載荷Ca,其剛度KN=0.8K′1(K′1為產品樣本尺寸表中給出的剛度值);如果軸向載荷不等於30%動額定載荷Ca時,其軸向剛度按下式計算
1.2.2 帶預壓載荷的雙螺母軸向剛度
當預壓載荷Fao=0.1Ca時,其剛度KN按下式計算
KN=0.8K′1
當Fao≠0.1Ca時,剛度KN計算公式為
式中 Fao——預壓載荷,N
1.3 支承軸承的剛度KB
不加預壓載荷時,軸承軸向剛度按下式計算
KB=F/δB
式中 F——軸向載荷,N
δB——軸承軸向彈性位移量,μm
施加預壓載荷時,軸承軸向剛度計算公式為
KB=3Fao/δao
式中 Fao——軸向預壓載荷,N
δao——在預壓載荷作用下,軸向彈性位移,μm
各種軸承的軸向彈性位移量δB計算公式如下:
①自動調心滾珠軸承
②圓錐滾柱軸承
③止推滾珠軸承
式中 α——接觸角,(°)
Q——加於軸承一個滾動體上的載荷,N
d0——軸承滾動體的直徑,mm
l——軸承滾柱的有效接觸長度,mm
Z——軸承滾動體個數
1.4 螺母及軸承支承部件的剛度KH
螺母支架的剛度,已在螺母剛度計算時乘以係數0.8計入。
軸承安裝部件的剛度可通過採用高剛度支承部件解決。
2 進給滾珠絲杠副的扭轉剛度
影響進給滾珠絲杠副扭轉變形的主要因素是絲杠。下面僅就絲杠的扭轉剛度進行討論。
絲杠的扭轉剛度是指絲杠抵抗扭轉變形的能力,其計算公式為
式中 KT——絲杠扭轉剛度,N.mm/rad
θ——扭轉角,rad
M——扭矩,N.mm
G——絲杠材料抗剪彈性模量,對鋼材
G=8.24×104MPa
JP——截面慣性矩,對實心絲杠,mm4
3 進給滾珠絲杠副的傳動剛度
在載荷作用下,進給滾珠絲杠副的軸向彈性變形為
絲杠的扭轉變形為
此角折算成滾珠絲杠副的軸向變形量為
式中 t——滾珠絲杠導程,mm
故滾珠絲杠副總的軸向變形為
由可得
(μm)
式中 K——進給滾珠絲杠副傳動剛度,N/μm
由於δ2δ1,所以計算絲杠扭轉剛度KT時,x取以下數值
4 計算實例
一進給滾珠絲杠副傳動系統採用雙推—支承方式。已知數據為:La=1800mm,雙推支承端軸承為背靠背布置的自動調心滾珠軸承,鋼珠直徑5.556mm,鋼珠個數Z=15,接觸角α=30°,軸承預緊力Fao=3kN;滾珠絲杠型號為BNFN3612—2.5GO,滾珠中心圓直徑dp=37.5mm,滾珠直徑為7.144mm,基本動額定載荷Ca=27.2kN,預緊力Fao=0.1Ca,要求計算其系統傳動剛度。計算步驟如下:
(1)絲杠軸向剛度計算
(2)計算螺母剛度 按已知條件,從產品樣本尺寸表中查得K′1=750N/μm,KN=0.8K′1=0.8×750=600N/μm。
(3)計算支承軸承剛度 支承軸承為自動調心滾珠軸承且預緊,因此
(4)螺母支架及軸承座剛度KH 螺母支架剛度已在前面計算螺母剛度以係數0.8計入,在此不予考慮。設軸承座剛度非常大,即→0,於是,該系統滾珠絲杠副的軸向剛度K1可通過以下計算求得為
(5)絲杠扭轉剛度 由滾珠絲杠型號可知其導程t=12mm,從產品樣本尺寸表中查得絲杠螺紋小徑d=30.1mm,代入公式計算得
(6)計算系統傳動剛度 由公式
得
K=60
(N/μm)