★2.4 直線的投影
★2.4.1 直線的投影圖
空間一直線的投影可由直線上的兩點(通常取線段兩個端點)的同面投影來確定。如:直線AB的三面投影圖,可分別作出A、B兩端點的投影(a、a′、a″)、(b、b′、b″),然後將其同面投影連接起來即得直線AB的三面投影圖(a b、a′ b′ 、a″b″)
★2.4.2 直線對於一個投影面的投影特性
空間直線相對於一個投影面的位置有平行、垂直、傾斜三種,三 種位置有不同的投影特性。
★2.4.3 各種位置直線的投影特性
直線在三投影面體系中的位置可分為投影面傾斜線、投影面平行線、投影面垂直線三類
★2.4.3.1投影面平行線
平行於一個投影面且同時傾斜於另外兩個投影面的直線稱為投影面平行線。
平行於V面的稱為正平線;
平行於H面的稱為水平線;
平行於W面的稱為側平線。
直線與投影面所夾的角稱為直線
對投影面的傾角。
斜線反映實長;
直線的傾角α、γ。
★2.4.3.2 投影面垂直線
垂直於一個投影面且同時平行於另外兩個投影面的直線。
垂直於V面的稱為正垂線;
垂直於H面的稱為鉛垂線;
垂直於W面的稱為側垂線。
側垂線的投影特性:
(1)兩個投影反映實長;
(2)一個投影積聚為一點。
與三個投影面都處於傾斜位置的直線稱為一般位置直線,投影特徵 :
(1)直線的三個投影和投影軸都傾斜,各投影和投影軸所夾的角度不等於空間線段對相應投影面的傾角;
(2)任何投影都小於空間線段的實長,也不能積聚為一點。
★2.4.4 一般位置直線的實長和對投影面的傾角
★2.4.4.1直角三角形法的作圖原理
AB為一般位置直線,過端點A作直線平行其水平投影ab並交Bb於C,得直角三角形ABC。在直角三角形ABC中,斜邊AB就是線段本身,底邊AC等於線段AB的水平投影ab,對邊BC等於線段AB的兩端點到H面的距離差(Z坐標差),也即等於a′ b′ 兩端點到投影軸OX的距離差,而AB與底邊AC的夾角即為線段AB對H面的傾角α。
★2.4.4.2直角三角形法的作圖方法和步驟
用一般位置直線在某一投影面上的投影作為直角三角形的底邊,用直線的兩端點到該投影面的距離差為另一直角邊,作出一直角三角形。此直角三角形的斜邊就是空間線段的真實長度,而斜邊與底邊的夾角就是空間線段對該投影面的傾角。
★2.4.5 直線上點的投影
★2.4.5.1直線上點的投影
點在直線上,則點的各個投影必定在該直線的同面投影上,反之,若一個點的各個投影都在直線的同面投影上,則該點必定在直線上。
★2.4.5.2直線投影的定比性
點C在線段AB上,它把線段AB分成AC和CB兩段。根據直線投影的定比性,AC:CB = ac:cb = a′ c′:c′ b′ = a″c″:c″b″ 。
例題2-6 如圖,已知側平線AB的兩投影和直線上K點的正面投影k′,求K點的水平投影k 。
★2.4.6 兩直線的相對位置
兩直線的相對位置有平行、相交、交叉三種情況。
★2.4.6.1 兩直線平行
1、特性:若空間兩直線平行,則它們的各同面投影必定互相平行。如圖由於AB∥CD,則必定ab∥cd、 a′ b′∥c′ d′、a″b″∥c″d″ 。反之,若兩直線的各同面投影互相平行,則此兩直線在空間也必定互相平行。
2、判定兩直線是否平行
如果兩直線處於一般位置時,則只需觀察兩直線中的任何兩組同面投影是否互相平行即可判定。
當兩平行直線平行於某一投影面時,則需觀察兩直線在所平行的那個投影面上的投影是否互相平行才能確定。
★2.4.6.2兩直線相交
1、特性:若空間兩直線相交,則它們的各同面投影必定相交,且交點符合點的投影規律。如圖兩直線AB、CD相交於K點,因為K點是兩直線的共有點,則此兩直線的各組同面投影的交點 k、 k′、k″ 必定是空間交點K的投影。
2、判定兩直線是否相交
如果兩直線均為一般位置線時,則只需觀察兩直線中的任何兩組同面投影是否相交且交點是否符合點的投影規律即可判定。
當兩直線中有一條直線為投影面平行線時,則需觀察兩直線在該投影面上的投影是否相交且交點是否符合點的投影規律才能確定;或者根據直線投影的定比性進行判斷。
★2.4.6.3 兩直線交叉
兩直線既不平行又不相交,稱為交叉兩直線。
1、特性:若空間兩直線交叉,則它們的各組同面投影必不同時平行,或者它們的各同面投影雖然相交,但其交點不符合點的投影規律。
2、判定空間交叉兩直線的相對位置
空間交叉兩直線的投影的交點,實際上是空間兩點的投影重合點。利用重影點和可見性,可以很方便地判別兩直線在空間的位置。
★2.4.7 直角投影定理
概念:空間垂直相交的兩直線,若其中的一直線平行於某投影面時,則在該投影面的投影仍為直角。反之,若相交兩直線在某投影面上的投影為直角,且其中有一直線平行於該投影面時,則該兩直線在空間必互相垂直。這就是直角投影定理。