第五節 曲面立體切相交三視圖
兩立體相交稱為相貫，兩立體表面的交線稱為相貫線，見圖4-26。
圖4-26 相貫線
一、相貫線概述
1. 相貫線的性質
（1）相貫線是兩立體表面的共有線，相貫線上的點是兩立體表面的共有點。
（2）由於立體表面是連續封閉的，所以相貫線一般是閉合的。
2. 按照立體的類型，常見的立體相貫有以下三種：
（1）平面立體與平面立體相貫；
（2）平面立體與迴轉體相貫；
（3）迴轉體與迴轉體相貫；
由於平面立體可以看作若干個平面圍成的實體，所以前兩種相貫情況可以歸結為求平面與立體的截交線。如前面所講的平面立體切割體和曲面立體切割體。
3. 按照立體的虛實類型，可以分為三種：
（1）實體與實體相貫（即兩外表面相交）；
（2）實體與虛體相貫（即外表面與內表面相交）；
（3）虛體與虛體相貫（即兩內表面相交）；
虛體、實體相貫線的分析作圖是完全相同的。
4. 按照迴轉體軸線之間的關係又可分為三種：
（1）正交：軸線垂直相交；
（2）斜交；軸線傾斜相交；
（3）偏交：軸線交叉（含垂直與傾斜）
二、曲面立體交線的求法
根據相貫線的性質，求相貫線可歸結為求兩相交立體表面上一系列共有點的問題。常用的方法有兩種：
1．利用投影積聚性求作相貫線根據相貫線是相交兩曲面立體表面的共有線這一性質，當相交兩曲面立體中有一個是圓柱且其軸線垂直於某投影面時，則相貫線在該投影面上的投影一定積聚在圓柱面的投影圓上，其餘投影可通過在另一曲面立體表面上作輔助直線或輔助圓的方法求得。
2．輔助截平面法
當相交兩曲面立體的三面投影均無積聚性時，則可採用輔助截平面法求作相貫線。輔助截平面的原理是三面共點原理。如圖4-27所示，當圓柱與圓錐相交時，為求得共有點，可設想用一個平面P（稱輔助截平面）截切圓柱和圓錐。平面P與圓柱面的截交線為兩條直線，與圓錐面的截交線是圓。兩直線和圓的交點MN是圓柱面，圓錐面和平面P三個面的共有點，因此是相貫線上的點。
圖4-27 輔助平面法原理
3．求相貫線的步驟
兩曲面立體相交時，其相貫線的形狀各異，但都可按以下步驟進行作圖：
（1）分析
1）形體分析 分析兩相交的基本體各是哪一種曲面立體及其表面性質。
2）位置分析 一是要分析兩相交曲面立體之間的相對位置，它們的軸線是正交還是交叉垂直；二是要分析兩相交立體對投影面的相對位置及投影特點。它們的軸線與某投影面是垂直還是平行，其投影是否有積聚性。
3）投影分析 分析相貫線的已知投影及未知投影。
（2）求共有點
1）求特殊點 相貫線上的特殊點主要是轉向輪廓線上的點和極限位置點。極限位置點是指相貫線上最前最後點，最高最底點，最左最右點等。
2）求一般點 根據需要作出適當數量的一般點。
3）判別可見性 可見性的判別原則是：當向某一投影面投影時，同時位於兩立體表面的可見部分上的那一段相貫線為可見，否則為不可見。
4）圓滑連接各點 可見部分用粗實線連接，不可見部分用虛線連接。
4. 舉例
例1．求兩圓柱體的相貫線（圖4-28）
分析：
1）形體分析 由圖示可知，這
是兩個直徑不同的圓柱體相貫，相貫線為一封閉的空間曲線。
2）位置分析 兩圓柱軸線垂直相交，小圓柱的軸線垂直於H面，其H面的投影具有積聚性；大圓柱的軸線垂直於W面，其W面投影具有積聚性。
3）投影分析 由位置分析可知，相貫線的水平投影及側面投影為已知，分別重合於相應的積聚性圓周上，要求的是相貫線的正面投影。
作圖：
1）求特殊點 由圖中可知，相貫線上Ⅰ、Ⅴ兩點分別位於小圓柱對V面的轉向線上，也位於大圓柱對V面的轉向線上，因此Ⅰ、Ⅴ兩點是相貫線上的最高點，同時也分別是相貫線上最左點和最右點；Ⅲ、Ⅶ兩點分別位於小圓柱對W面的兩條轉向線上，它們是相貫線上的最底點，也分別是相貫線上最前點和最後點，在投影圖上可自W面投影1″ 、3″ 、5″ 、7″向左引投影連線,直接得出V面投影1′ 、3′ 、5′ 、7′。
2）求一般點 先在小圓柱的H面投影圓上的特殊點之間適當地定出若干一般點的投影，如圖中2、4、6、8等點，再按投影關係作出W面投影2″ 、 (4″) 、8″ 、(6″)點和V面投影2′ 、(8′) 、4′ 、(6′)點。
3）判別可見性 圖中1、2、3、4、5對V面可見，6、7、8相對於V面不可見。
4）圓滑連接各點 在V面投影中，按1′ 、2′ 、3′ 、4′ 、5′的順序用圓滑曲線把各點連接起來。由於該相貫線前後兩部分對稱，形狀相同，故在V面投影中重合，只畫粗實線。
圖4-28 求作兩圓柱體的相貫線
（a）軸線正交兩圓柱 （b）相貫線的求法
由於圓柱有實體圓柱和圓柱孔之分，因此圓柱面有外圓柱面和內圓柱面之別。兩圓柱面相交會產生三種情況：①兩外圓柱面相交（圖4-29a）；② 外圓柱面與內圓柱面（即圓柱孔）相交（圖4-29b）③兩內圓柱面相交（圖4-29c）。這三種情況相貫線的形狀，性質相同，其求法也一樣，所不同的只是有實線和虛線之分。
圖4-a）兩外圓柱面相交
b）外圓柱與內圓柱相交 c）兩內圓柱相交29 兩圓柱相交的三種情況
由於軸線相交的兩圓柱直徑相同或不同，在兩圓柱軸線所共同平行的投影面上，其相貫線的投影形狀和彎曲趨向會有所不同。當兩相交圓柱的直徑不相同時，相貫線的投影向著直徑大的圓柱軸線方向彎曲，如圖4-30a、b所示。當兩圓柱直徑相等時，兩圓柱的相貫線為兩條橢圓曲線，且橢圓曲線所在的平面垂直於V面，這時相貫線的V面投影成為兩條相交的直線，如圖4-30c所示。
圖4-30 軸線相交兩圓柱相貫線的投影特點
a）直立圓柱的直徑大於水平圓柱的直徑 b）直立圓柱的直徑小於水平圓柱的直徑 c）兩圓柱直徑相等
例2． 求作套筒的相貫線。
如圖4-31a所示，套筒的內外表面均為圓柱面，在其中部鑽有一個圓柱孔，該孔與套筒的內外圓柱表面均有相貫線。因內外圓柱面和所鑽圓柱孔的軸線分別垂直側面和水平面，所以相貫線在這兩個投影面上的投影分別積聚在內外圓柱面和所鑽圓柱孔的投影圓上，而相貫線的正面投影需求作。由於套筒內圓柱直徑與所鑽圓柱孔的直徑相等，所以其相貫線的正面投影是兩條相交直線，如圖4-31b所示。
圖4-31 求作套筒的相貫線
例3．求作圓柱與圓台的相貫線（圖4-32）
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sp; 圖4-32 求作圓柱與圓台的相貫
分析：
1）形體分析 如圖4-32a所示，圓柱與圓台相交。
2）位置分析 圓柱與圓台軸線垂直相交，圓柱軸線垂直於W面，其W面投影積聚為圓；圓台軸線垂直於H面。由W面投影可知，圓柱的投影位於圓台投影範圍中，說明圓柱貫入圓台，故相貫線是圍繞圓柱一周的空間封閉曲線。
3）投影分析 由於圓柱W面投影具有積聚性，因此相貫線的W面投影重合於圓柱的W面投影圓上，可利用在圓錐表面上作輔助圓（或輔助直線）的方法求出相貫線上各點的H、V面投影。
作圖：
1）求特殊點 從W面投影中可以看出，Ⅰ、Ⅴ兩點是相貫線的最高點和最底點，其V面投影由兩立體的V面投影輪廓素線相交求得，再由1′ 、5′ 向下引投引線連線得1、5；Ⅲ、Ⅶ兩點是相貫線的最前點和最後點，它們分別位於圓柱對H面的轉向線上，其H面投影3、7用作錐面輔助圓A1求出。此兩點也是相貫線的H面投影可見與不可見部分的分界點。由3、7向上引投影連線得其V面投影3′ 、(7′)。
2）求一般點 在圓柱的W面投影（圓）上，取若干一般點的投影2、4、6、8點。最後再根據各點的W、H面投影求出V面投影2′ 、(8′) 、4′ 、(6′)。
3）判別可見性 相貫線向H面投影時，雖對錐面而言都可見，但對圓柱而言，Ⅲ、Ⅱ、Ⅰ、Ⅷ、Ⅶ各點位於圓柱上半部，其投影可見，其餘部位位於圓柱下半部，投影不可見。相貫線前後對稱，故相貫線的V面投影可見部分與不可見部分重合。
4）圓滑連接各點 將相貫線H、V面的可見部分投影用粗實線圓滑連接起來，不可見部分用虛線圓滑連接起來。
兩軸線相交的圓柱與圓錐，由於它們的大小和相對位置不同，它們的相貫線在兩軸線共同平行的投影面上，其投影的形狀或彎曲趨向也會有所不同。如圖4-33a所示，圓柱貫入圓錐，V面投影中兩條相貫線（左、右各一條）由圓柱向圓錐軸線彎曲，並隨圓柱直徑的增大，相貫線逐漸彎近圓錐軸線。如圖4-33b所示，圓錐貫入圓柱，V面投影中兩條相貫線（上、下各一條）由圓錐向圓柱軸線彎曲，並隨圓柱直徑的減小，相貫線逐漸彎近圓柱軸線。如圖4-33c所示，圓柱與圓錐互貫，並且圓柱面與圓錐面共同內切於一個球面，此時相貫線成為兩條平面曲線（橢圓），並同時垂直於V面，其V面投影積聚成兩條直線。
圖 4-33 圓柱與圓錐相交的三種情況
a）圓柱穿過圓錐 b）圓錐穿過圓柱 c）圓柱圓錐相切與一球
例4．求作圓錐與半球的相貫線（圖4-34）。
分析：
1）形體分析 圖4-34為一圓錐體與半球相交；
2）位置分析 圓錐體軸線垂直於H面且位於球體左邊的對稱中心線上，所以相貫線為前後對稱的封閉空間曲線；
3）投影分析 由於圓錐面和球面的各面投影都沒有積聚性，相貫線的各面投影都要求出。
由於圓錐面和球面的各面投影都沒有積聚性，所以不能再利用投影的積聚性通過表面取點的方法求作相貫線，而需用輔助截平面法。
作圖：
1） 求特殊點 Ⅰ、Ⅴ兩點分別是相貫線的最高點和最低點，它們位於圓錐面對V面的轉向線上，同時位於球面對V面的轉向線上，因此，在V面投影中的投影為兩立體轉向輪廓線的交點1′ 、4′,由1′ 、4′即可直接求出H和W面投影1、4和1″ 、4″。
位於圓錐在W面的轉向線上的Ⅲ、Ⅴ兩點，它是區分相貫線W面投影中可見與不可見部分的分界點。這兩個點的各面投影要藉助於通過圓錐軸線的輔助側平面來求出。該側平面與圓錐的交線即是圓錐面兩條對側平面的轉向線，而與球的交線為半圓（它的半徑可從V面或H面投影中量取）。上述兩轉向線和半圓的W面投影交點3″ 、5″即為Ⅲ、Ⅴ兩點的W面投影。由3″,5″即可直接求出其V面和H面投影3′ 、5′和3、5。
2)求一般點 圖4-34中Ⅱ、Ⅵ兩點是相貫線上的一般點，其各面投影的求作過程是，先在V面投影的特殊點之間作輔助水平面P，再在H面投影中分別畫出該截面與圓錐及球的截交線的投影a圓及b圓，則兩圓的交點2、6即為相貫線上Ⅱ、Ⅵ點的H面投影。因Ⅱ、Ⅵ兩點也是截平面P內的點，所以由2、6向上作投影連線與V面投影中PV相交，即得兩點的V面投影2′ 、6′。最後由投影2、6及2&prim
e; 、6′求其W面投影2″ 、6″。
3)判別可見性及連線 所求相貫線在V，H面中的投影影均為粗實線，在W面投影中，由於Ⅲ——Ⅳ——Ⅴ這一段相貫線在圓錐面的不可見部分上，所以3″——4″——5″為不可見，用虛線畫出，其餘部分為可見，用粗實線畫出。
輔助截平面法是一種常用的方法，只要利用積聚性能求作的問題也都能用此法來求作。採用輔助截平面法的關鍵是選取合適的截平面。圖4-34若不是採用水平面，而是採用輔助正平面或採用輔助側平面，它與圓錐面的交線均為雙曲線，這樣會使作圖繁瑣而複雜。畫截平面時還要注意必須使截出的兩條截交線相交（極限位置相切），否則截平面內沒有共有點。
圖4-34 輔助截平面法求作兩立體相貫線（一）
圖4-35是用輔助截平面法求作圓柱與半球相貫線的例子。
圖4-35 輔助截平面法求作兩立體相貫線（二）
5. 多形體相交
在畫實際零件圖樣時，由於零件的形體各異，交線也常常較複雜。畫圖時，必須注意形體分析，找出存在交線的各個表面，應用相貫線的基本作圖方法，逐一作出各交線的投影。
求圖4-36所示形體的表面交線。
圖4-36 多圓柱體相交
分析：
1） 形體分析 由圖示可知，該形體由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個圓柱組成。
2） 位置分析 圓柱Ⅰ、Ⅱ 的軸線垂直於W面，其W面投影具有積聚性；圓柱Ⅲ的軸線垂直於H面，其H面投影具有積聚性。圓柱Ⅰ、Ⅱ 是疊加關係，沒交線，Ⅰ與Ⅲ，Ⅱ與Ⅲ 都是正交關係，存在交線需求解。另外，圓柱Ⅱ的左端面與Ⅲ也是相交關係，存在交線。形體前後對稱。
3） 投影分析 通過上述分析可知，相貫線的H、W面投影為已知，要求的是相貫線的V面投影。
作圖：
按上述分析，逐個作出各形體之間的交線，由於圓柱Ⅰ、Ⅱ 在側面投影圖上有積聚性，圓柱Ⅲ在水平投影圖上有積聚性，因此可利用投影的積聚性及點的三投影之間的關係，圓柱Ⅰ與Ⅲ，圓柱Ⅱ與Ⅲ的表面交線，圓柱Ⅱ的左端面與圓柱Ⅲ的交線是兩條垂直於水平面的直線，它們的水平投影積聚成點4、（5）和7、（8）；它們的側面投影可根據投影規律求得4″,5″和7″,8″;它們的正面投影則重影成一豎直線段(4′) 、 (5′)。恰位於兩段曲面交線之間。
