平面的投影變換

如圖3-10a所示，△ABC為一般位置平面，要將其變換為投影面垂直面，只需使屬於該平面的任一條直線垂直與新投影面。但要把△ABC上的一般位置直線變換為投影面垂直線，必須兩次換面，而把△ABC上的投影面平行線變換為投影面垂直線只需一次換面。因此，在一般位置平面△ABC上任取一條投影面平行線為輔助線，再取與它垂直的平面為新投影面，則該平面也就和新投影面垂直。

現將一般位置平面△ABC變換為V面的垂直面。作圖步驟如圖3-10b所示：

（1）在△ABC平面上作一水平線KC（k c，k′c′）。

（2）作新投影軸X⊥k c，得新的兩投影面體系H/ V。

（3）求出A、B、C各點在V面上的投影a′、b′、c′，a′、b′、c′必連成同一直線a′b′c′，即為△ABC在它所垂直的新投影面V上的有積聚性的新投影。這樣，△ABC 平面在H/V體系中變為投影面V的垂直面，新投影a′b′c′與X軸的夾角即為△ABC平面和H面的傾角α。

同理，通過一次換面，也可以將一般位置平面變換為H面的垂直面，則該平面的H面投影積聚為一直線，它與X軸的夾角即為平面與V面的傾角β。

由此可見，通過一次換面可以將一般位置平面變換為投影面垂直面，為此，先要在這個平面上作一條平行於所保留的投影面的平行線，新投影軸應垂直於這條投影面平行線所保留的反映實長的投影。

二、將投影面垂直面變換為投影面平行面

因為與投影面垂直面相平行的平面可作為新投影面，它與所保留的舊投影面相垂直，構成新的兩投影面體系，所以，將投影面垂直面變換為投影面平行面只需一次換面。其目的主要是求得平面真形，以及方便求解有關的度量和定位問題。

圖3-11a為將鉛垂面變換為V面的平行面的空間情況。保留投影面垂直面有積聚性的投影a b c，再作一新投影面V與該平面平行，顯然，這個新投影面V必定和保留的投影面H互相垂直，可與H面組成新的兩投影面體系V/H。所以將處於鉛垂面位置的投影面垂直面變換為投影面平行面，需變換V面，保留H面，使△ABC平面在V/H體系中變換為V面的平行面，它在V面的投影反映真形。

作圖步驟（如圖3-11b所示）：

（1）作X∥c a b，組成新的兩投影面體系V/H。

（2）按投影變換的基本作圖法求得A、B、C的新投影a′、b′、c′，並連接成△a′b′c′，則△a′b′c′即為△ABC平面在V面的新投影，即將V/H中的鉛垂面△ABC變換為V/H中的V面的平行面，它在V面上的投影△a′b′c′反映△ABC平面的真形。

同理，將處於正垂面位置的投影面垂直面變換成投影面平行面，需換H面，保留V面，它在H面上的投影反映真形。

由此可見，通過一次換面，可以將投影面垂直面變換為投影面平行面。新投影軸應平行於這個平面所保留的有積聚性的投影。

三、將一般位置平面變換為投影面平行面

若把一般位置平面變換為投影面平行面，變換一次投影面是辦不到的。因為，與一般位置平面平行的新投影面也一定還是一般位置的平面，它與V/H體系中的哪一個投影面都不垂直，即不能構成新的兩投影面體系。要解決這個問題，必須變換兩次投影面，第一次將一般位置平面變換為投影面垂直面，如圖3-12中的a′b′c′（同前述基本情況一）；第二次再將投影面垂直面變換為投影面平行面，如圖3-12中的△a2b2c2（同前述的基本情況二）。

作圖步驟（如圖3-12所示）：

（1） △ABC平面變換為投影面的垂直面。在△ABC平面中取一水平線CD（c′d′,c d），取X⊥c d ,組成H/V體系，求得a′、c′、b′，這三點必在同一直線上，則△ABC變換為V面的垂直面。

（2）將△ABC平面再變換為投影面平行面（即將第一次換后的V面垂直面△ABC變換為H面平行面）。作X∥a′b′c′，組成V/H新的兩投影面體系，使V/H中的V面垂直面△ABC變換為H面的平行面，從而求得△abc，即為△ABC平面在H面上的新投影，反映真形。

如圖3-13所示，也可以在△ABC中取一正平線AD，取X⊥a′d′，組成V/H 新的體系，求得積聚成一直線的H面投影bac；再作X∥bac，組成V/H新的兩投影面體系，使△ABC平面變換為V面的平行面，從而求得△a′b′c′，即為△ABC平面在V面上的新投影，反映真形。

由此可見，將一般位置平面變換為投影面平行面，必須經過兩次換面，即先將一般位置平面變換為投影面垂直面，再將投影面垂直面變換為投影面平行面。

[例3-2] 如圖3-14所示，求相交兩平面的夾角。

分析如圖3-14a所示，兩相交平面之間的夾角即為該平面間的兩面角。當兩平面的交線垂直於某一投影面時，兩平面必垂直於該投影面，兩平面在該投影面上的投影積聚為兩相交直線，它們之間的夾角即為兩平面的夾角。因此，只要使兩平面的交線AB經過兩次變換后，其投影ab積聚為一點，則兩平面各積聚為一直線a (b)(c)d與a (b)（f）e，其夾角θ即為所求。

作圖步驟（如圖3-14b所示）：

（1）第一次變換作X∥a b（AB為兩平面的交線）；

（2）在新投影面V上求出相交兩平面的投影a′b′c′ d′和a′b′f′e′；

（3）第二次變換作X⊥a′b′，在H面上求出相交兩平面的投影a (b)(c)d和a (b)（f）e，兩個平面均成為H面的垂直面，故H面投影積聚為兩條直線，其夾角θ即為所求。

[例3-3] 如圖3-15a所示，已知平面圖形的真形及一邊AB的投影，作出其正面投影和水平投影。

分析如圖3-15a 所示，反映已知平面圖形為真形，要經過兩次換面，將平面圖變換為V面的垂直線，則已知平面圖形成為V面的垂直面，AB的V面投影積聚為一點。在V/H中已知平面必為H面的平行面，故可用底邊AB的已知投影求出在V面上的投影（積聚成點），可按題目給定的方位作出這個平面圖形的V面投影（積聚成直線）。然後，作地二次變換，將這個V面垂直面變換為H面平行面，便可在V/H體系中完成這個平面圖形的兩面投影作圖再分別求出投影軸X、X，最後，按投影變換基本作圖法逐步返回，作出這個平面圖形的水平投影和正面投影。