課 題：1、點的投影及其標記
2、點的三面投影規律
3、點的三面投影與直角坐標
4、特殊位置點的投影
5、兩點的相對位置
課堂類型：講授
教學目的：1、介紹空間點及其投影的標記標記符號
2、講解點的三面投影規律
3、講解特殊位置點的投影
4、講解兩點的相對位置和重影點
教學要求：1、理解並掌握在兩面和三面投影圖中點的投影規律
2、熟練掌握點的投影與與其直角坐標的關係以及由點的兩個投影求作第三投影的方法
3、掌握由點的軸測圖作投影圖和由點的投影圖作軸測圖的方法
4、根據兩個點的投影，能夠理解並判別該兩點在空間的相對位置
5、掌握重影點的概念及其可見性的判別方法
教學重點：1、在兩面和三面投影圖中點的投影規律
2、重影點的概念和兩點的相對位置
教學難點：1、點的三面投影與直角坐標的關係
2、特殊位置點的投影
教 具：自製的三投影面體系模型
教學方法：課堂教學中要加強三等關係和六方位關係的基本訓練，著重突出空間概念的培養，這是樹立空間概念，搭起空間架子的起步。這部分教學要突出空間位置的判斷。運用直觀教具，採用講授和演示教學法，講情三投影面體系的有關內容和展開方法。注意以下幾個要點：
投影面展開前：（1）空間點對投影面的距離及對應坐標的關係。
（2）空間點的投影與其對應坐標的關係。
投影面展開后：要演示兩投影連線與投影軸的關係，從而引出投影規律。
教學過程：
一、複習舊課
簡要複習有關投影法的幾個基本概念。重點複習三視圖的形成、投影規律和方位關係。
二、引入新課題
任何物體都是由點、線、面等幾何元素構成的，只有學習和掌握了幾何元素的投影規律和特徵，才能透徹理解機械圖樣所表示物體的具體結構形狀。本次課先來學習點的投影。
三、教學內容
（一）點的投影及其標記
當投影面和投影方向確定時，空間一點只有唯一的一個投影。如圖2－11（a）所示，假設空間有一點A，過點A分別向H面、V面和W面作垂線，得到三個垂足a、a′、a″，便是點A在三個投影面上的投影。
規定用大寫字母（如A）表示空間點，它的水平投影、正面投影和側面投影，分別用相應的小寫字母（如a、a′ 和a″）表示。
根據三面投影圖的形成規律將其展開，可以得到如圖2－11（b）所示的帶邊框的三面投影圖，即得到點A兩面投影；省略投影面的邊框線，就得到如圖2－11（c）所示的A點的三面投影圖，（注意：要與平面直角坐標系相區別。）
（a） （b）
（c）
圖2－11 點的兩面投影
（二）點的三面投影規律
1、點的投影與點的空間位置的關係
從圖2－11（a）、（b）可以看出，Aa、A a′、A a″ 分別為點A到H、V、W面的距離，即：
A a = a′a x = a″a y (即a″aYW)，反映空間點A到H面的距離；
A a′ =a a x = a″a z ，反映空間點A到V面的距離；
A a″ = a′a z = a a y (即aYH)，反映空間點A到W面的距離；
上述即是點的投影與點的空間位置的關係，根據這個關係，若已知點的空間位置，就可以畫出點的投影。反之，若已知點的投影，就可以完全確定點在空間的位置。
2、點的三面投影規律
由圖2－11中還可以看出：
a aYH = a′a z 即a′a⊥OX
a′a x = a″aYW 即a′a″⊥OZ
a a x = a″a z
這說明點的三個投影不是孤立的，而是彼此之間有一定的位置關係。而且這個關係不因空間點的位置改變而改變，因此可以把它概括為普遍性的投影規律：
（1）點的正面投影和水平投影的連線垂直OX軸，即a′a⊥OX；
（2）點的正面投影和側面投影的連線垂直OZ軸，即a′a″⊥OZ；
（3）點的水平投影a和到OX軸的距離等於側面投影a″ 到OZ軸的距離，即a a x = a″a z 。（可以用45°輔助線或以原點為圓心作弧線來反映這一投影關係）
根據上述投影規律，若已知點的任何兩個投影，就可求出它的第三個投影。
3、講解例題（例2－1） 已知點A的 正面投影a′ 和側面投影a″（圖2－12），求作其水平投影a 。
（a）題目 （b）解答
圖2－12 已知點的兩個投影求第三個投影
強調：一般在作圖過程中，應自點O作輔助線（與水平方向夾角為45°），以表明a a x = a″a z的關係。
（三）點的三面投影與直角坐標
1、點的三面投影與直角坐標的關係
三投影面體系可以看成是一個空間直角坐標系，因此可用直角坐標確定點的空間位置。投影面H、V、W作為坐標面，三條投影軸OX、OY、OZ作為坐標軸，三軸的交點O作為坐標原點。
由圖2－13可以看出A點的直角坐標與其三個投影的關係：
點A到W面的距離 = Oa x = a′a z = a aYH = x坐標；
點A到V面的距離 = OaYH = a a x = a″az = y坐標；
點A到H面的距離 = Oa z = a′ a x = a″aYW = z坐標。
圖2－13 點的三面投影與直角坐標
用坐標來表示空間點位置比較簡單，可以寫成A (x，y，z)的形式。
由圖2－13（b）可知，坐標x和z決定點的正面投影a′ ，坐標x和y決定點的水平投影a，坐標y和z決定點的側面投影 a″，若用坐標表示，則為a (x，y，0)，a′ (x，0，z)，
a″ (0，y，z)。
因此，已知一點的三面投影，就可以量出該點的三個坐標；相反地，已知一點的三個坐標，就可以量出該點的三面投影。
2、講解例題（例2－2） 已知點A的坐標（20，10，18），作出點的三面投影，並畫出其立體圖。其作圖方法與步驟如圖2－14所示：
（a） （b） （c）
圖2－14 由點的坐標作點的三面投影
立體圖的作圖步驟如圖2－15所示；
（a） （b） （c）
圖2－15 由點的坐標作立體圖
（四）特殊位置點的投影
1、在投影面上的點（有一個坐標為0）
有兩個投影在投影軸上，另一個投影和其空間點本身重合。例如在V面上的點A，如圖2－16（a）所示；
2、在投影軸上的點（有兩個坐標為0）
有一個投影在原點上，另兩個投影和其空間點本身重合。例如在OZ軸上的點B，如圖2－16（b）所示；
（a） （b） （c）
圖2－16 特殊位置點的投影
3、在原點上的空間點（有三個坐標都為0）
它的三個投影必定都在原點上。如圖2－16（c）所示。
（五）兩點的相對位置
1、兩點的相對位置
設已知空間點A，由原來的位置向上（或向下）移動，則z坐標隨著改變，也就是A點對H面的距離改變；
如果點A，由原來的位置向前（或向後）移動，則y坐標隨著改變，也就是A點對V面的距離改變；
如果點A，由原來的位置向左（或向右）移動，則x坐標隨著改變，也就是A點對W面的距離改變.
綜上所述，對於空間兩點A、B的相對位置
（1）距W面遠者在左（x坐標大）；近者在左（x坐標小）；
（2）距V面遠者在前（y坐標大）；近者在後（y坐標小）；
（3）距H面遠者在左（z坐標大）；近者在左（z坐標小）。
2、舉例
如圖2－17所示，若已知空間兩點的投影，即點A的三個投影a、a′ 、a″ 和點B的三個投影b、b′ 、b″，用A、B兩點同面投影坐標差就可判別A、B兩點的相對位置。 由於xA > xB，表示B點在A點的右方；zB > zA，表示B點在A點的上方；yA > yB，表示B點在點的A後方。總起來說，就是B點在A點的右、后、上方。
圖2－17 兩點的相對位置
3、重影點
若空間兩點在某一投影面上的投影重合，則這兩點是該投影面的重影點。這時，空間兩點的某兩坐標相同，並在同一投射線上。
當兩點的投影重合時，就需要判別其可見性，應注意：對H面的重影點，從上向下觀察，z坐標值大者可見；對W面的重影點，從左向右觀察，x坐標值大者可見；對V面的重影點，從前向後觀察，y坐標值大者可見。在投影圖上不可見的投影加括弧表示，如（a′）。
4、舉例
如圖2－18中，C、D位於垂直H面的投射線上，c、d重影為一點，則C、D為對H面的重影點，z坐標值大者為可見，圖中zC > zD，故c為可見，d為不可見，用c（d）表示。
四、小結
1、空間點及其投影的標記標記符號
2、點的投影與與其直角坐標的關係
3、點的三面投影規律
4、特殊位置點的投影
5、兩點的相對位置和重影點
五、布置作業
習題集2－1（1）～（8）
