齒輪滾刀的最短有效切削長度是指能切出齒輪全齒高所需的滾刀最短軸向長度(L0t)min。在齒輪加工中，需要計算滾刀最短有效切削長度的情況很多。如滾切雙聯齒輪的小齒輪時，若小齒輪為斜齒輪且與大齒輪相距很近，則需驗算滾刀滾切小齒輪時是否會與大齒輪相碰。滾刀外徑越小，軸向長度越短，與大齒輪相碰的可能性就越小。但是，滾刀外徑過小會影響齒根鍵槽部分的強度(此時可考慮將滾刀與刀軸做成一體)；此外，如滾刀軸向長度過短，可能無法切出完整的小齒輪。因此在這種情況下需要計算滾刀的最短軸向長度。此外，(L0t)min也是計算滾刀齒部總長度(考慮串刀長度)的基礎。
1 計算方法
根據圖1 可推導計算出滾切直齒輪時的(L0t)min。對於普通精度的滾刀，由於螺旋升角很小，可認為法向齒形角等於軸向齒形角。設過切點P 的嚙合線與齒輪齒頂圓直徑的交點為a，與滾刀齒頂線的交點為b，則工件齒形在嚙合線a與b點之間形成。過a點作嚙合線的垂線與滾刀齒頂線交於c'，設c' 外側的滾刀齒頂齒角為c，則滾刀齒部沿法向的最短距離(即不需串刀即可切出齒輪全齒高的最短長度)為 (L0n)min=2(pm/2+CE)=pm+2L3 (1)
圖1
計算時之所以代入滾刀法向齒距的一半(pm/2)，是因為假設滾刀的齒頂高等於其齒根高。雖然實際上並不要求滾刀齒頂高一定等於其齒根高，只要求滾刀齒全高大於工件齒全高、滾刀齒頂高等於工件齒根高即可(工件齒根高為( fa1+c1)m，其中fa1為工件齒頂高係數，c1為徑向間隙係數，齒根位置如圖1 中RS所示)，但代入工件齒根高RS進行計算比較麻煩。為簡化計算，不妨假設滾刀齒根高等於滾刀齒頂高，此時RS=pm/2。由於實際滾刀齒根高通常小於工件齒根高，因此按式(1)算出的滾刀(L0n)min值稍有增大，計算結果更為安全。
由圖1可知，為使滾刀切出完整齒形，必須滿足L3≥L2，因為需要計算滾刀的最短長度，故可取其極限情況L3=L2。L2為實際參與切削的長度，在加工雙聯齒輪進行驗算時即取此長度，其計算公式為 L2 =L1+Qa=L1+QC'tana1
=L1+EN tana1=L1+(NP+ME-PM)tana1
=L1+[L1tana1+(fa1+c1)m-x1m]tana1
=(tan2a1+1)L1+(fa1+c1-x1)mtana1
(2)
式中：L1=Ra1sin(aa1-a1)
Ra1——工件的齒頂圓半徑
aa1——工件的齒頂圓壓力角，cosaa1=rb1/Ra1=mz1cosaa1/Ra1
求得L2后，取L3≥ L2，代入式(1)即可求出(L0n)min，滾刀的軸向最短長度則為 (L0t)min=(L0n)min/cosg0 (3)
式中g0——滾刀的螺旋升角
由於g0通常較小(約3°，cos3°≈0. 9986)，而滾刀最短有效切削長度最後要圓整到mm，因此也可直接將(L0n)min作為(L0t)min。
上述公式雖是按滾切直齒圓柱齒輪的情況推導出的，但若將有關參數換成法向參數，以當量齒輪代替工件，也可將其近似用於斜齒圓柱齒輪的計算。如需驗算滾切雙聯齒輪時小齒輪是否會與大齒輪相碰，則應以式(2)算出的L2的兩倍作為(L0t)min，即(L0t)min=2L2是參與切削的滾刀最短長度。式(1)算出的值則是不串刀時滾刀應有的最短長度。
2 應用實例
例1：我廠一直齒輪工件的參數為：da1=96.2mm，徑節P=8(即m=3.175mm)，z1=29，a1=20°，齒全高h1=5.733mm，齒頂高ha1=2.06mm。用外徑為90mm、分度圓直徑D0=82. 654mm 的單頭滾刀滾切該齒輪，求該滾刀齒部的最短長度。
解：首先求出工件齒頂圓壓力角aa1：
cosaa1=mz1cosaa1/Ra1=0.8993991382
aa1=25.9208°
L1=Ra1sin(aa1-a1)=4.96mm
工件齒根高係數為
fa1+c1=(h1-ha1)/m=1.15
L2=(tan2a1+1)L1+( fa1+c1-x1)mtana1=6.94mm
因為L3>L2，故取L3=7。則滾刀的法向最短長度為(L0n)min=pm+2L3≈24mm滾刀為單頭，其螺旋升角為
g0=arcsin(m/D0)=2.201452653
則(L0t)min=(L0n)min/cosg0=24.01mm
可見，將(L0n)min作為(L0t)min帶來的誤差極小，可忽略不計。
由上述計算可知，對(L0n)min值影響較大的是L1=Ra1 sin(aa1-a1)，對L1影響較大的則是Ra1和aa1。工件越大，Ra1和aa1也越大，滾刀的(L0n)min就越長。此外，由式(2)可知，工件的齒根高越大，其變位係數越小(本例中x1=0)，滾刀的(L0n)min也越大。
例2：斜齒輪的mn=3.5mm，an=20°，z1=100，b1=60°，h1=7.875mm，ha1=3.5mm(為分析各參數對(L0n)min的影響，對b1等參數略有誇大)。設工件為雙聯齒輪，為驗算加工時是否會與大齒輪相碰，求滾切該齒輪滾刀的(L0t)min。
解：斜齒輪的當量齒數為
z1'=z1/cos3b1=181.93≈182
當量齒輪的分圓直徑為mnz1'=637mm，頂圓直徑為mnz1'+2ha1=644mm，此時
aa1 =arccos[mnz1'cosan(/mn z1'+2ha1)]
=21.64632097°
L1 =Ra1'sin(aa1-a1)≈9.25mm
fa1+c1=(h1-ha1)/mn=1.25
L2 =(tan2an+1)L1+(fa1+c1-x1)mntanan
=12.067mm
則滾刀的最短長度(L0t)min=2L2≈24mm。
目前國內常用的滾刀設計方法是通過列出滾刀斜剖面的橢圓方程求其有關坐標的最大值來確定滾刀最短長度。因為涉及到橢圓方程，求導較麻煩，為求出坐標最大值還需求解超越方程，這對於手工計算相當困難。而利用最大坐標值計算(L0t)min又較為粗略。相比之下，本文介紹的方法更簡單實用，且兩種方法的計算結果較為接近(例2 求得的(L0t)min≈24mm 較橢圓法求出的(L0t)min=22.7mm略大，滾刀使用時更為安全可靠)。
