對球形銑刀建模的具體內容作詳細討論

隨著計算機與數字控制技術的飛速發展，數控切削模擬系統作為能夠對加工程序進行檢驗、預測加工過程表現及產品質量精度的一種有效手段，在航空、航天及汽車等製造業的實際生產中，已經發揮了越來越大的作用。一個功能完備的數控模擬系統，不僅應具有兒何模擬能力。如材料去除模擬，干涉檢驗及NC代碼驗證等，更應有強大的切削過程物理模擬能力。在虛擬製造環境下，物理模型與實體幾何模型的系統集成，不僅可以對產品的質量精度和現有的工藝過程進行預測及評估，而且能為新工藝的創新與設計提供更加有利的手段。在模擬系統建立過程中，刀具的合理建模將起到十分重要的作用，具體包含兩方面的內容：刀具掃描體的生成；刀具切削刃的幾何表達。在曲面的三軸數控銑削加工時，以球形刀應用為最廣泛，本文針對三軸數控銑削模擬系統，對球形銑刀建模的具體內容作詳細討論。

一、數控銑削刀具通用模型的建立

為了保證刀具的強度與製造的一些特殊要求，在多坐標數控銑削加工中用到了多種切削刀具。如圖1所示。

通過分析，將圖中所提到的刀具各自輪廓特徵提取出來，建立了一個通用的刀具輪廓模型如圖2所示。該模型以6個參數d，r，e，f，g，y，h來具體描述：d為刀頭直徑；r為圓角半徑；e為圓角中心距刀具軸心的距離了為圓角圓心距端面的距離；g為刀桿的半錐角；h為刀具長度。

利用這些參數可完全描述圖1所示的所有刀具。但在三坐標的數控加工中。經常採用球形銑刀，利用通用刀具輪廓模型對球形刀的表示如下：d，r=d/2，e=0，g=0，f=r,h。

二、球形銑刀掃描體的快速生成演算法

刀具掃描體生成演算法回顧
掃描體的特徵及表示在NC加工的理論與實踐上有著非常重要的作用，為此，研究人員在該領域進行了不少工作。Anderson首次針對平頭銑刀提出了刀具掃描表面的一個估計演算法，他將刀具掃描體表面表示成簡單實體元素的並集。Martin從微分幾何學觀點出發，利用包絡線理論對銑削刀具的掃描體進行了分析，並給出了一個基於代數學的掃描實體計算方法。有文獻將掃描微分方程與包絡面方法結合起來，可以較為迅速地構造出平頭銑刀與球形銑刀在一維平面上運動時所形成的刀具掃描體。作者在其它文獻中擴展了Anderson的方法提出了一種掃描包絡面微分方程演算法，在數控切削驗證精度上可以達到令人滿意的程度。在本文中，為避免複雜的刀具掃描體表面求解運算，提出了一種基本關鏈曲線的刀具掃描體快速生成演算法。
基於關鍵曲線的球形銑刀刀具掃描體生成演算法提出
在三坐標數控加工中，球形銑刀以其自身的優點(如刀具在加工表面上易於定位，數控程序易於t編製，通常只需二維的刀具補償等)，在對曲面產品的加工中得到了廣泛的應用。首先我們建立如圖3所示坐標系。並設定以下變數:
S=(S_x, S_y, S_z)，為刀具的起始位置；
E=(E_x, E_y, E_z)，為刀具的結束位置；
D=E-S=(D_x, D_y, D_z)，為刀具進給方向向量；
V=(D_x/P，D_y/P, 0)為X-O-Y平面上平行於進給方向D投影的單位向量；
U=(D_y/P，D_x/P, 0)為X-O-Y平面上垂直於V的單位向量，其中P=(D_x²+D_y²)^?
通過分析球形銑刀的刀具掃描體及其投影，可直觀地發現，當刀具沿進給方向運動時，一個數控數據段所形成的刀具掃描體被關鍵曲線K_c(S)在X-O-Y平面內的投影曲線劃分為三部分：起始處刀具包絡體表面，由關鍵曲線掃描的表面和終點處的刀具包絡體表面，在平面上的投影分別為A、B、C，如圖3所示。對B區進行觀察，我們發現隨著刀具的運動，落在B區內的點Q_B所對應的掃描面上點的坐標,X、Y值沒有變化(因為投影關係)，只是該點對應的起始位置處刀具關鍵曲線點Q_K在高度方向上增加了一個Z值。而在C區刀具掃描表面只是起始位置處C區刀具包羅表面在Z軸上增加了進給的Z向投影高度。基於這樣一個事實，我們只要能夠獲得關鍵曲線的表達，就可以非常容易地得到數控數據段內任意點的掃描體表面數據。就數控模擬而言，球形銑刀圓柱部分關鍵曲線所生成的掃描表面形狀簡單(由兩個平行平面構成)，故此，下文來討論銑刀球形部分的關鍵曲線求解。
關鍵曲線的求解
本節首先給出關鍵曲線的定義：令F為圖3所示的局部坐標系下刀具運動方向的量,F=(0,1.D_z/P)；令N(u, v)為刀具球形表面的法向量。根據解析幾何知識，關鍵曲線由在球面上且滿足條件N(u, v)·D=0的點構成。通過局部坐標(u, v)與坐標(x, y)力間的轉換矩陣：

{ v=VT 其中T=(x-S_x, Y-S_x, 0)

u=UT

我們只需簡單的代數求解便可以獲得關鍵曲線方程K_c的平面投影方程，根據平面投影方程，可以非常容易地得到關鍵曲線的表達。刀具掃描面的生成按照本章第2節所述進行.具體方法如圖4所示：

三、基於數控模擬系統的球形刀切削刃的幾何表述

為能夠對數控物理模擬過程中所建立的模型(如切削力模型)進行精確的計算，在給定刀具參數、切削參數、刀具位置及進給方向後，必須能夠準確地提取出兩組必要的信息：1)參與切削的切削微元數目與分佈；2)各切削微元的切屑厚度。獲取這兩組信息的關鍵是建立一個適用於模擬技術的精確切削刃表達方法。

在計算機圖形學領域貝齊埃曲線因具有數值計算穩定、效率高等優點，別是在位置發生變化時，無需對所有的數據點進行變換，而只需變換給定的控制點，在許多CAD系統中該曲線已得到了廣泛的應用為了使該模擬系統的切削刃表達方法具有一定的通用性，且滿足數控模擬中刀具位置不斷變化的要求，基於CAD軟體集成的考慮，本文對刀具切削刃的表達採用了貝齊埃曲線形式，建立了一個固定於球形銑刀的坐標系，如圖5所示。利用該方法生成刀具切削刃的基本步驟如下：

首先根據刀具製造者提供的刀具切削刃信息，沿刀軸方向按一定間隔，在切削刃上進行采點，將切削刃表示成一個多項式參數方程公式

x(t)=a₃t³+a₂t²+a₁t+a₀

y(t)=b₃t³+b₂t²+b₁t+b₀

z(t)=c₃t³+c₂t²+c₁t+c₀

然後參照初始條件(刀刃起始點與終點角度)，利用下列公式得到切削刃貝齊埃曲線擬合的控制點：

dx₀=a₀

dy₀=b₀

dz₀=c₀

dx₁=1/3a₁+a₀

dy₁=1/3b₁+b₀

dz₁=1/3c₁+c₀

dx₂=1/3(a₂+2a₁+3a₀)

dy₂=1/3(b₂+2b₁+3b₀)

dz₂=1/3(c₂+2c₁+3c₀)

dx₃=a₃+a₂+a₁+a₀

dy₃=b₃+b₂+b₁+b₀

dz₃=c₃+c₂+c₁+c₀

四個控制點為

C₀=(dx₀, dy₀, dz₀)

C₁=(dx₁, dy₁, dz₁)

C₂=(dx₂, dy₂, dz₂)

C₃=(dx₃, dy₃, dz₃)

通過上述過程，我們給出了可用數控模擬系統的球形刀切削刃表達方式，該方法也同樣適用於其它形狀的數控銑削刀具切削刀的幾何構造上。

四、結論

本文針對曲面的三軸數控加工建立了可用於數控模擬系統中完整的銑削刀具兒何模型(切削刃及刀具掃描體)提出了一種全新的球形銑刀刀具掃描體生成演算法，該方法不必經過大量的數學求解運算就可以精確、迅速地獲得刀具掃描體表面；利用貝齊埃曲線對任意形狀的刀具切削刃表達，可以非常方便地提取出數控物理模擬所需的幾何信息，為數控幾何模擬與物理模擬奠定了基礎。所給出的這種刀具幾何形狀表示方法已成功地應用於作者所開發的曲面產品三軸數控加工模擬系統中，實際應用表明該方法省時、準確實用